Funcions I: problemes de Matemàtiques CC.SS. de la Selectivitat
Donada una funció. Valors concrets, límits, signes, creixement i decreixement, classificació d’extrems, optimització.
56 problemes dels exàmens oficials de les PAU de Catalunya (2015-2026) classificats en aquest tema. A continuació hi ha el començament de cada enunciat; l'enunciat complet, les imatges i la solució pas a pas són a la web.
Practica aquest tema amb les solucionsJuny 2025, Sèrie 1, Problema 2
Exercici 2 Un inversor té uns diners invertits en un fons d'inversió molt volàtil. El valor de la seva inversió en euros durant un dia determinat és donat per la funció f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{35x^2}{2} + 300x + 250 en què x \in [0, 24] representa el temps en hores. a) Calculeu el valor inicial de la inversió en…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 6
Exercici 4, Opció A, apartat b b) És més car comprar un cotxe elèctric, però té menys despeses per quilòmetres recorreguts que un de combustió. Determineu la funció que representa la despesa acumulada, entre la compra i els quilòmetres recorreguts, per a cada tipus de vehicle en funció del nombre de quilòmetres…
Setembre 2025, Sèrie 3, Problema 8
Exercici 4, Opció B, apartat b b) Si sabem que la despesa acumulada entre la compra i els quilòmetres recorreguts d'un vehicle de combustió és de 36.000 €, quants quilòmetres ha recorregut? Quina despesa acumulada tindria un vehicle elèctric que hagués recorregut aquest mateix nombre de quilòmetres? [1 punt]
Juny 2025, Sèrie 4, Problema 3
Exercici 3 Un estudi estableix que el nombre de microorganismes vius en una mostra de laboratori, mesurat en desenes, és donat per la funció f(x) = \frac{15x}{9+x^2} + k en què x representa les hores transcorregudes des de l'inici de l'estudi. a) Determineu el valor de k si sabem que a l'inici de l'estudi hi havia 50…
Juny 2024, Sèrie 1, Problema 1
1. Dues companyies de taxi, A i B, ofereixen tarifes diferents. La companyia A ofereix un cost fix de 20 € més 0,4 € per quilòmetre recorregut, mentre que el preu de la companyia B segueix la funció g(x) = 0,01x^2 + 0,1x + 10, en què x representa el nombre de quilòmetres recorreguts. a) Quina de les dues companyies…
Setembre 2024, Sèrie 3, Problema 1
1. Els beneficis o pèrdues diaris d'una nova empresa durant el primer any de funcionament són donats per la funció B(x) = -x^2 + 260x - 12.000, en què x representa el dia des de l'inici de l'activitat de l'empresa. a) Quin benefici o pèrdua va tenir l'empresa el dia 45? Quins dies va obtenir un benefici de 4.000 €?…
Juny 2024, Sèrie 5, Problema 1
1. Una empresa de paqueteria té unes tarifes d'enviaments de paquets que depenen del pes de cada paquet, tot i que no de manera lineal. Volem enviar un paquet a una distància aproximada de 650 km. La informació que ofereix l'empresa al seu web sobre els preus per a enviar un paquet a aquesta distància és la següent:…
Juny 2023, Sèrie 1, Problema 5
5. El nombre de kilograms de menjar que han gastat en un alberg d'animals durant una setmana concreta es pot calcular mitjançant la funció f(t)=10\left(-\frac{t^3}{8}+\frac{3t^2}{2}-\frac{9t}{2}+10\right), en què t és el temps en dies i va des del dia t=1 (dilluns) fins al dia t=8 (dilluns de la setmana següent). a)…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 2
2. Un fabricant de vehicles elèctrics ha tret al mercat un model nou amb tant d'èxit que ven tots els que fabrica. El preu de venda de cada cotxe és de 35.000 €. Fabricar un cert nombre de cotxes li suposa unes despeses de C(x) = x^2 + 34.880x + 1.100 euros, en què x representa el nombre de vehicles fabricats. a)…
Setembre 2023, Sèrie 2, Problema 4
4. El nombre de noves persones infectades per una malaltia, en milers, és donat per la funció següent: f(t) = \frac{30t}{t^2 - 2t + 4}, \quad t \geq 0 en què t representa el temps transcorregut, en setmanes, des que es va iniciar la infecció. a) Quants malalts s'infectaran a la setmana 1 i quants a la setmana 2?…
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 4
4. El cost anual de la neteja de les instal·lacions d'una empresa que va obrir fa 20 anys, expressat en centenars d'euros, és donat per la funció C(t) = \begin{cases} \frac{t^2}{10} + 10, & \text{si } t \in [0, 10] \\ 28 - \frac{(t - 14)^2}{2}, & \text{si } t \in (10, 20] \end{cases} en què t és el temps expressat en…
Juny 2023, Sèrie 5, Problema 6
6. Una jove emprenedora vol crear una empresa de baldufes, que té pensat d'imprimir amb una impressora 3D a partir d'un disseny matemàtic fet amb el programa GeoGebra. Per a fer-ho, fa girar el perfil de la funció f(x) = -x^3 + 2x^2 al voltant de l'eix de les abscisses entre els dos punts de tall amb aquest eix, i…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 2
2. Experimentalment s'ha comprovat que la producció d'un tipus de fruita determinat que es cultiva en hivernacles depèn de la temperatura, segons la funció f(x) = -x^2 + 46x - 360, en què x representa la temperatura de l'hivernacle en graus Celsius i f(x) és la producció anual en centenars de quilograms per hectàrea.…
Juny 2022, Sèrie 2, Problema 6
6. En els models matemàtics que s'utilitzen per a descriure l'evolució d'una malaltia, s'anomena R_0 el nombre mitjà de noves infeccions que cada persona infectada provoca en la població. Quan aquest nombre és inferior a 1, cada individu infectat transmet la malaltia, de mitjana, a menys d'una persona i la malaltia…
Setembre 2022, Sèrie 3, Problema 3
3. El Museu de Matemàtiques de Catalunya (MMACA) té previst muntar una exposició. S'estima que el nombre de visitants setmanals que rebrà l'exposició, expressat en desenes de persones, és donat per la funció f(x) = \frac{240x}{x^2 - 2x + 4}, en què x \geq 1 representa el temps, expressat en setmanes, que fa que…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 1
1. El valor d'un producte electrònic, en funció del nombre de mesos que fa que està a la venda, t, és donat per la funció f(t) = -(t + 25)(t - 75). a) Trobeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(t). En quin moment el producte assolirà el valor màxim? Quin és aquest valor màxim? [1,25 punts] b)…
Juny 2022, Sèrie 5, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = e^{3x}. a) Calculeu el pendent de la recta tangent a la gràfica d'aquesta funció en el punt d'abscissa x = 0. [1,25 punts] b) Obteniu l'equació d'aquesta recta tangent. [1,25 punts]
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 4
4. La funció C(t) = 3 - \frac{1}{t^2 - 4t + 5}, en què t són els anys transcorreguts i C(t) la quantitat de clients, expressada en milers, modelitza l'evolució d'una empresa que ha entrat en crisi. a) Calculeu quants clients tenia l'empresa en el moment inicial i quants en tenia al cap d'un any. [0,5 punts] b) Trobeu…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 5
5. Una empresa posa a la venda un producte que distribueix en caixes. El benefici B obtingut per l'empresa, expressat en milers d'euros, és donat per l'expressió B(x) = -x^2 + 16x - 55, en què x > 0 és el preu de venda de cada caixa, expressat en euros. a) Quin benefici obtindrà si el preu de venda de cada caixa és…
Setembre 2021, Sèrie 1, Problema 6
6. Considereu la funció f(x) = px^3 - 4x^2 + 7px - 18. a) Calculeu quin ha de ser el valor del paràmetre p perquè les rectes tangents a la corba en els punts d'abscisses x = 1 i x = 3 siguin paral·leles. [1,25 punts] b) Escriviu l'equació de la recta tangent al punt d'abscissa x = 3 per al valor de p = 2. [1,25 punts]
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 1
1. Una fàbrica estima que el benefici mensual, en milers d'euros, per cada tona de confeti venuda és donat per la funció f(x) = \frac{-0,2x^2 + 5x - 20}{x}, en què x representa el nombre de tones de confeti venudes. a) Determineu en quin interval de valors s'ha de trobar la variable x perquè la fàbrica no tingui…
Juny 2021, Sèrie 2, Problema 6
6. Considereu la funció real de variable real f(x) = 4x^3 + ax^2 - 2. a) Determineu el valor del paràmetre real a per tal que la funció tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa x = -1. [1,25 punts] b) Calculeu els intervals de creixement i decreixement de la funció f(x) quan a = 12. Indiqueu també els punts en…
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 1
1. Considereu la funció f(x) = \frac{2x}{x^2+1}. a) Trobeu l'equació de la recta tangent a f(x) en el punt d'abscissa x=0. [1,25 punts] b) Estudieu en quins intervals la funció f(x) és creixent i en quins és decreixent. Indiqueu-ne també els extrems relatius i digueu si són màxims o mínims. [1,25 punts]
Juny 2021, Sèrie 5, Problema 4
4. Suposeu que la temperatura de l'aigua del mar en una zona concreta és donada per la funció f(x) = \frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 4}, en què x representa la fondària en metres negatius (per exemple, f(-5) representa el valor de la temperatura de l'aigua en graus Celsius a 5 metres de profunditat). a) Quina és la…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 2
2. L'1 de gener de 2019 va sortir al mercat un nou model d'un producte tècnic d'esquí. La funció de tercer grau f(x) = 10x^3 - 210x^2 + 1.470x ens dona el nombre total d'unitats venudes, en què x denota el nombre de mesos transcorreguts, des del llançament del producte, durant el primer any (és a dir, x \in [0, 12]).…
Juny 2020, Sèrie 1, Problema 6
6. El benefici d'una empresa, expressat en milions d'euros, és donat per la funció següent, en què x indica el nombre d'anys que han passat des del moment que va començar a funcionar: B(x) = \frac{5x + 20}{x^2 + 9} - \frac{20}{9} a) Quin és el benefici en el moment en què l'empresa comença a funcionar? En quin moment…
Juny 2020, Sèrie 3, Problema 2
2. Una empresa vol fabricar un producte nou. Encomana un estudi de mercat que determina que l'evolució de les vendes al llarg dels propers sis anys seguirà la funció f(t) = t^3 - 12t^2 + 36t, en què f(t) representa la quantitat de milers d'unitats venudes en funció del temps t \in [0, 6] expressat en anys. a) Quantes…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 2
2. Un fabricant va tenir un producte a la venda durant deu anys. Durant aquest temps, el preu del producte P, en euros, va estar relacionat amb el temps que feia que estava a la venda t, expressat en anys, seguint la funció següent: P(t) = \begin{cases} 5(t + 1)^2 - 5 & \text{si } 0 \le t \le 2 \\ -4t + 48 & \text{si…
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 4
4. Considerem les funcions f(x) = x^2 + ax + b i g(x) = -x^2 + c. a) Calculeu els valors dels paràmetres a, b i c per tal que les gràfiques de f(x) i g(x) es tallin en els punts (-1, 3) i (3, -5). [1,25 punts] b) Per a c = 4, trobeu l'equació de la recta tangent a g(x) en el punt d'abscissa x = -1. [1,25 punts]
Setembre 2020, Sèrie 4, Problema 6
6. La funció Q(x) = (x + 1)^2 (32 - x), en què x \in [-1, 32], representa la producció, en quilograms, d'una hortalissa en un hivernacle en funció de la temperatura x, expressada en graus centígrads (°C), que pot variar entre -1 °C i 32 °C. a) Calculeu quina és la temperatura de l'hivernacle amb la qual s'obté la…
Juny 2019, Sèrie 1, Problema 4
4. La funció f(x) = \frac{40}{x^2 - 22x + 125} mostra aproximadament la venda diària, en milers d'unitats, d'un perfum de moda en funció de x, en què x és el dia del mes de febrer. a) Quantes unitats de perfum es van vendre, aproximadament, el dia 5 de febrer? Quin és l'increment de vendes entre el dia 7 i el dia 9…
Juny 2019, Sèrie 4, Problema 3
3. Un nutricionista, després de fer un estudi personalitzat a un pacient, li proposa una dieta. Segons el model del nutricionista, el pes en kilograms del pacient seguirà la funció f(x) = \frac{63x + 510}{x + 6} , en què x denota el nombre de mesos que fa que segueix la dieta. a) Justifiqueu que la funció f és…
Setembre 2019, Sèrie 5, Problema 3
3. Es preveu un canvi important en la població d'una determinada zona per qüestions mediambientals. El nombre d'habitants de la zona, en milions, vindrà donat per la funció P(t) = \frac{t^2 + 28}{(t + 2)^2}, en què t mesura el temps en anys des del moment actual (t = 0). a) Digueu quin és el nombre d'habitants de la…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 2 (Opció A)
2. Considereu la funció f(x)= a) Trobeu per a quins valors del paràmetre a la recta tangent a la funció ƒ en x = 1 és parallela a la recta y + 3x + 5 = 0. -, en què a és un paràmetre real. x-a [1 punt] b) Per al valor del paràmetre a = 1, trobeu els intervals de creixement i decreixement i els punts on s'assoleixen…
Juny 2018, Sèrie 1, Problema 6 (Opció A)
6. El nombre d'individus, en milions, d'una població ve determinat per la funció P(t)= 5, en què t mesura el nombre d'anys transcorreguts. 5+t² (t+1)² a) Quina és la població inicial i la població després de 9 anys? A partir de quin moment la població serà inferior a un milió d'individus? [1 punt] b) Amb el pas dels…
Setembre 2018, Sèrie 3, Problema 4 (Opció A)
4. La despesa mensual en tabac d'un fumador ve determinada pel seu salari mitjançant la funció f(x)=400x x² + 4 en què x representa el salari en milers d'euros i f(x) la despesa 2 mensual en tabac en euros. a) Determineu el salari per al qual la despesa en tabac és màxima. A quant ascendeix aquesta despesa? [1 punt]…
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 1 (Opció B)
x²-3x x²-4 1. Sigui la funció f(x)=a) Indiqueu-ne justificadament el domini i determineu els punts en què la gràfica de ftalla l'eix de les abscisses. [1 punt] b) Estudieu-ne el creixement i feu un esbós aproximat de la gràfica de la funció. [1 punt]
Juny 2018, Sèrie 5, Problema 6 (Opció B)
6. A continuació es mostra la gràfica d'una funció f que presenta un mínim relatiu en el punt d'abscissa x = -1 i un màxim relatiu en el punt d'abscissa x = 1. a) Sabent que f'(0) = 1, determineu l'equació de la recta tangent a f que passa per l'origen de coordenades. [1 punt] b) Feu un esbós de la gràfica de la…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 1 (Opció A)
1. D'una funció y = f(x) sabem que la seva derivada és f'(x) = x³ 4x. a) Determineu els intervals de creixement i de decreixement de la funció y = [1 punt] = f(x). b) Determineu les abscisses dels seus extrems relatius i classifiqueu-los. [1 punt] ia 2017
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 2 (Opció A)
2. Des d'una barca es dispara una bengala de salvament marítim que s'apaga al cap de 4 minuts. En aquest interval de temps, es comprova que la intensitat lumínica de la bengala en funció del temps, mesurada en percentatges del 0 % al 100%, queda perfectament descrita per l'expressió L(t) = 25. t. (4t), en què el…
Juny 2017, Sèrie 1, Problema 6 (Opció A)
6. Considereu la funció f(x) = -x² + bx + c, amb bic nombres reals. a) Trobeu bic de manera que la gràfica de la funció passi pel punt (−1, 0) i tingui un extrem local en el punt d'abscissa x = 3. Raoneu de quin tipus d'extrem relatiu es tracta. [1 punt] b) Per al cas b = 3 i c = 2, trobeu l'equació de la recta…
Setembre 2017, Sèrie 2, Problema 3 (Opció A)
3. Considerem una funció f(x) tal que la seva primera derivada és f'(x) = x² + bx − 3, en què b és un paràmetre real. a) Determineu el valor de b perquè f(x) tingui un extrem relatiu en x = -3 i raoneu si es tracta d'un màxim o d'un mínim. [1 punt] b) Per a b = -8, trobeu l'equació de la recta tangent a f(x) en el…
Juny 2017, Sèrie 5, Problema 4 (Opció A)
4. Les pèrdues o els beneficis d'una empresa vénen donats per la funció f(t)= 3t 6 t + 2 › en què f(t) s'expressa en centenars de milers d'euros, un cop transcorreguts t anys des de l'inici del 2010. a) Feu un esbós de la gràfica de la funció f(t) per a t>0, calculant els intervals de creixement, els talls amb els…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 2 (Opció A)
2. Una empresa ven un producte a un preu de p euros. El nombre d'unitats venudes depèn del preu que fixem segons la funció 30p + 10 V(p)= P a) Demostreu que, en augmentar els preus, les vendes disminueixen. [1 punt] b) És possible que l'empresa vengui 20 unitats del producte? Si el preu augmenta indefinidament, què…
Setembre 2016, Sèrie 1, Problema 3 (Opció A)
3. La fotografia matemàtica següent sembla indicar que les branques de les ulleres formen una paràbola. Tanmateix, no totes les corbes en forma de «U» són paràboles. Hem marcat sobre uns eixos de coordenades alguns dels punts: (0, 2,5), (1, 0), (3, -1) i (5,0). Justifiqueu si la gràfica correspon a una paràbola o no.…
Juny 2016, Sèrie 3, Problema 2 (Opció A)
1 1+x²* 2. Considereu la funció f(x)=a) Estudieu-ne el creixement i, si en té, determineu-ne i classifiqueu-ne els extrems relatius. [1 punt] b) Calculeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de ƒ en el punt [1 punt] d'abscissa x = 1.
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 3 (Opció A)
X 3. Sigui la funció f(x)= x² +1 a) Estudieu en quins intervals f creix i en quins intervals decreix. Determineu i classifiqueu, si n'hi ha, els màxims i els mínims de f. [1 punt] b) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el [1 punt] punt d'abscissa x = 2.
Juny 2016, Sèrie 5, Problema 4 (Opció A)
4. Sabem que la funció derivada f' d'una funció f, polinòmica de tercer grau, talla l'eix de les abscisses en els punts x = -1 i x = 2. a) Justifiqueu si és possible que f' talli també l'eix de les abscisses en un punt diferent dels dos esmentats. [1 punt] b) Si ens diuen que f'(1) = 2, indiqueu i classifiqueu els…
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 3 (Opció A)
2x + 2 x² = x+2 a) Escriviu l'equació de la recta tangent a la gràfica de fen el punt de tall amb l'eix de les ordenades. [1 punt] b) Determineu els punts de la corba en què la recta tangent és horitzontal. [1 punt] 3. Considereu la funció f(x) = -
Juny 2015, Sèrie 2, Problema 5 (Opció A)
5. La funció derivada d'una funció fés f'(x) = e-2x. (x-x²). a) Estudieu el creixement i el decreixement de la funció f. [1 punt] b) Si la funció fté extrems relatius, indiqueu-ne les abscisses i classifiqueu-los. [1 punt]
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 2 (Opció A)
2. La funció derivada d'una funció fés f'(x) = (x 5).e-²x. a) Si en té, determineu i classifiqueu els extrems de la funció f. [1 punt] b) Sabem que la gràfica de f passa per P(0, 2). Calculeu l'equació de la recta tangent a fen el punt P. [1 punt]
Juny 2015, Sèrie 4, Problema 5 (Opció A)
5. La gràfica adjunta mostra la funció f', derivada d'una funció f. a) Determineu en quins intervals la funció f és creixent i en quins intervals és decreixent. Si n'hi ha, classifiqueu els extrems de la funció f. [1 punt] b) Indiqueu per a quins valors de x la recta tangent a fés horitzontal. [1 punt] N
Setembre 2015, Sèrie 5, Problema 4 (Opció A)
4. S'ha observat que el nombre d'entrades que es venen al cinema d'un poble està lligat al sou mitjà x de la població, expressat en milers d'euros, segons la funció N(x)= 50x x² +1' a) Determineu el sou mitjà de la població que correspon a la màxima venda d'entrades i justifiqueu la resposta. [1 punt] b) Si suposem…